Die drei McCay-Kreise
eines Dreiecks
... und mehrere Neuentdeckungen
von
Markus Heisss
Würzburg, Bayern
2018/2019
Zur Vergrößerung klicke man auf die Abbildungen.
Die folgenden Abbildungen dürfen vervielfältigt werden, aber ohne Veränderung!
Normalerweise sind die drei McCay-Kreise eines Dreiecks definiert als
"die drei Umkreise durch den Dreieck-Schwerpunkt
und die Paare der Eckpunkte des zweiten Brocard-Dreiecks".
Die McCay-Kreise lassen sich jedoch leichter von den sogenannten Neuberg-Kreisen ableiten:
Radius a-Neuberg-Kreis RNa = ...
Radius a-McCay-Kreis RCa = 1/3 RNa = (Formel siehe nächste Grafik)
Entfernung des a-Neuberg-Kreis-Mittelpunktes von der Dreieckseite a: dNa = ...
Entfernung des a-McCay-Kreis-Mittelpunktes von der Dreieckseite a: dCa = 1/3 dNa = (Formel siehe nächste Grafik)
Beide Mittelpunkte liegen auf der Mittelsenkrechten von Dreieckseite a.
Analog b- und c-McCay-Kreis
[Weitere Informationen dazu siehe im Internet unter:
mathworld.wolfram.com => "Neuberg circles", "McCay circles" und "second Brocard triangle"]
(Anmerkung: Die Begriffe "Neuberg-Kreise", "McCay-Kreise" und "zweites Brocard-Dreieck"
sind eine direkte Übertragung aus dem Englischen meinerseits.)
In der nächsten Grafik werden die Schnittpunkte der McCay-Kreise
mit der entsprechenden Mittelsenkrechten dargestellt:
Nachtrag am 4. August 2019:
Die weitere Forschung ergab, dass diese beiden Kollinearen
mit den beiden Symmetrie-Achsen der Steiner-Ellipse identisch sind!
(Heisss, Juli 2019)
Anwendung:
Dieser Umstand ermöglicht eine
'echte' Konstruktion der McCay-Kreise.
(Mehr dazu findet man unten.)
Weitere Informationen zur Steiner-Ellipse und deren Konstruktion findet man hier:
https://steiner-ellipse.jimdofree.com/
Anmerkungen zum Beweis der Kollinearität:
1.) Die McCay-Kreise sind drei Thales-Kreise. Somit würden die beiden Geraden im Schwerpunkt G
senkrecht aufeinanderstehen, falls die entsprechenden Punkte collinear sind.
2.) Die Abstände und Radien der McCay-Kreise sind direkt proportional zu den jeweiligen Dreieckseiten.
Somit sind die Dreiecke ABMxc, BCMxa und CAMxb ähnlich.
3.) Es muss also nur bewiesen werden, dass die Punkte Mxa, Mxb, Mxc und G kollinear sind.
Dies ist die Aufgabenstellung in der nachfolgenden Zeichnung:
*************************************************
... und noch zwei Kollinearitäten:
Und jetzt alle vier Kollinearen zusammen:
Nachtrag am 7. August 2019:
Untersuchungen zeigten, dass auch dieses zweite Paar an Kollinearen
zusammen mit der Steiner-Ellipse zu einer Besonderheit führt, denn:
Transformiert man die Steiner-Ellipse durch eine affine Abbildung zu einem Kreis,
dann ist der Winkel zwischen den Kollinearen
und der größeren Halb-Achse der Steiner-Ellipse
genauso groß wie der Winkel der transformierten Kollinearen
und der kleineren Halb-Achse.
(Heisss, August 2019)
Siehe Skizze:
Die Berechnung des Winkels sigma:
Mehr zum cosΦ, sowie die Formeln für die Halb-Achsen, findet man hier:
*************************************************
Nachtrag am 26. Oktober 2019:
... und noch viel mehr Kollinearitäten!
Weitere Untersuchungen ergaben,
dass die zwei bisher gezeigten Beziehungen nur Sonderfälle sind,
denn es gibt eine ganze Schar von Kollinearitäten!
(siehe nächste Grafik)
*************************************************
Nachtrag am 29. Oktober 2019:
... und noch ein Sonderfall!
Auf der Suche nach weiteren Spezialfällen bietet es sich natürlich an,
von den Mittelpunkten der Dreieckseiten aus die Tangenten an die McCay-Kreise zu legen.
Das Kollinearen-Paar wieder an der Steiner-Ellipse transformiert
ergibt einen schönen 45°-Winkel!
(siehe nächste Grafik)
*************************************************
Nachtrag am 30. Oktober 2019:
Und jetzt eine 'echte' und einfache Konstruktion
der drei McCay-Kreise eines gegebenen Dreiecks:
1.) Man konstruiere die beiden Symmetrie-Achsen der Steiner-Ellipse
wie in der Abbildung unten gezeigt.
2.) Man konstruiere die Mittelsenkrechten an jeder Dreieckseite.
3.) Die Schnittpunkte dieser Mittelsenkrechten
mit den Symmetrie-Achsen der Steiner-Ellipse
sind die Durchmesser der McCay-Kreise.
***************************************
Nachtrag am 18. Dezember 2019:
Weitere Beziehungen zu den McCay-Kreisen:
Und jetzt das ganze nochmal, aber mit mehreren Apollonius-Kreisen:
***************************************
Nachtrag am 17. Januar 2020:
Zusammenhang zwischen den McCay-Kreisen
und dem Brocard-Winkel:
[Weitere Informationen dazu siehe im Internet unter:
mathworld.wolfram.com ==> "Brocard angle" und "first Brocard triangle"]
***************************************
Nachtrag am 7. September 2020:
... und noch ein paar Kollinearitäten:
